下面四种记号是为了建立函数间的相对级别。

CLRS上的一张图很直观：

大O记号

定义：如果存在正常数cc和n0n0，使得当N≥noN≥no时T(N)≤cf(N)T(N)≤cf(N)，记T(N)=O(f(N))T(N)=O(f(N))。

举个栗子：

当N<1000N<1000时，1000N>N21000N>N2，但N2N2增长率更大，所以最终N2N2会更大，即O(N2)=1000NO(N2)=1000N。

也就是说，总会存在某个点n0n0，从这个点以后cf(N)cf(N)至少和T(N)T(N)一样大，忽略常数因子，即T(N)T(N)的增长率小于等于f(N)f(N)的增长率。

那么为什么这个常数因子cc可以忽略呢？

当N≥noN≥no时，T(N)≤cf(N)T(N)≤cf(N)，也就是T(N)f(N)≤cT(N)f(N)≤c。此时如果T(N)T(N)的增长率大于f(N)f(N)的增长率，那么T(N)f(N)T(N)f(N)不可能小于某个常数，也就是cc不存在，与我们的前提条件矛盾，所以说忽略掉常数因子后，T(N)T(N)的增长率仍然小于等于f(N)f(N)的增长率。

那么既然T(N)T(N)是以不快于f(N)f(N)的速度增长，也就可以说f(N)f(N)是T(N)T(N)的一个上界(upper bound)。

ΩΩ记号

定义：如果存在正常数cc和n0n0，使得当N≥noN≥no时T(N)≥cg(n)T(N)≥cg(n)，记T(N)=Ω(g(n))T(N)=Ω(g(n))。

与上述大O的分析类似，可知：

T(N)T(N)的增长率大于等于g(N)g(N)的增长率，g(N)g(N)是T(N)T(N)的一个下界(lower bound)。

ΘΘ记号

定义：当且仅当T(N)=Ω(h(n))T(N)=Ω(h(n))、T(N)=O(h(n))T(N)=O(h(n))时，

T(N)=Θ(f(n))T(N)=Θ(f(n))。

那么这个就是说T(N)T(N)的增长率等于h(N)h(N)的增长率。

小o记号

定义：若T(N)=O(p(n))T(N)=O(p(n))且T(N)≠Θ(p(n))T(N)≠Θ(p(n))时，

T(N)=o(f(n))T(N)=o(f(n))。

与大O不同，小o表示T(N)T(N)的增长率小于p(N)p(N)的增长率，不包括等于。